분수로 표현할 수 있는 수를 ‘유리수’라고 해요. 그러면 분수로 표현할 수 없는 수도 존재하는 것일까요? 놀랍게도 그런 수가 존재한답니다. 하지만 이러한 수가 존재한다는 것이 공식적으로 인정되기까지 많은 어려움이 있었어요.
  고대 그리스의 수학자 피타고라스는 우주의 근본을 ‘수’라고 생각했어요. 피타고라스에게는 많은 제자들이 있었는데 그와 그의 제자들은 자연수만을 수로 생각하고 있었지요. 그런데 분수로 표현할 수 없는 수가 존재할지도 모른다는 것을 점점 알아가게 되면서 피타고라스와 그의 제자들은 무척이나 당황했답니다.
  혹시 ‘피타고라스의 정리’라는 것을 들어본 적이 있나요? 피타고라스의 정리는 수학에서 가장 유명한 정리 중 하나예요. 피타고라스 정리란 직각삼각형의 빗변(직각과 마주보는 변)의 길이를 제곱한 값이 다른 두 변의 제곱의 합(사진 2)과 같다는 거예요. 그림을 그려보면 쉽게 이해할 수 있어요. 직각 삼각형의 각 변을 한 변으로 하는 정사각형을 그려 보면 정사각형의 넓이를 구할 수 있기 때문에 이것이 성립하는 이유를 알 수 있지요.
  각 변의 길이를  라고 하면 피타고라스의 정리는  으로 쓸 수 있어요. 이제 와 를 모두 1이라고 해볼까요? 그럼 ,  즉  가 되요. 이 방정식을 만족하는 는 ‘2의 제곱근’이라고 부르고, 흔히 (루트root 2)라고 써요. 의 값은 대략 1.4142가 되요. 그런데 이 값을 제곱하면 2에 아주 가깝긴 하지만 정확하게 2가 나오지는 않아요. 의 값을 측정해 보면, 아무리 작은 단위를 사용해도 정확하게 떨어지지 않아요. 이것은 결국 2의 제곱근 는 분수로 표현할 수 없는 수라는 뜻이지요. 피타고라스는 모든 길이가 유리수로 표현될 수 있다고 생각했는데, 아무리 계산을 해 봐도 는 유리수에 포함되지 않았답니다.
  피타고라스는 자신이 다룰 수 없는 이러한 수가 존재한다는 것을 도저히 받아들일 수 없었어요. 분수로 표현할 수 없는 수가 존재한다는 것 때문에 무척 당황했지요. 그래서 분수로 표현되지 않는 수가 존재한다는 사실을 비밀로 하기를 원했어요. 그런데 피타고라스학파의 한 사람이었던 히파수스가 이 비밀을 다른 사람들에게 말해버려서 피타고라스의 노여움을 샀지요. 그 때문에 히파수스는 무거운 추에 묶인 채 바다에 던져졌다는 무시무시한 이야기도 전해지고 있답니다.
  그러나 ‘는 분수가 아니므로 도구로 측정할 수 없다.’라는 사실이 알려지면서 천하의 피타고라스조차도 ‘분수로 표현될 수 없는 수’의 존재를 도저히 외면할 수 없게 되었어요. 분수로 표현될 수 없는 수는  뿐만이 아니었거든요. , , , , ,  등 완전제곱수(4, 9, 16, 25, …)가 아닌 수의 제곱근은 모두 분수로 표현할 수 없었어요.
  또한 원 둘레의 길이를 원의 지름으로 나누면 그 값 역시 분수로 표현할 수 없는데, 대략 3.141592…인 이 값을 원주율 파이(π)라고 해요. 이처럼 분수로 표현할 수 없는 수들을 ‘무리수’라고 부르게 되었답니다.
  수학자들은 이미 알고 있던 유리수 이외에 ‘무리수’라는 수도 존재한다는 것을 결국 인정할 수밖에 없었지요. 무리수는 모든 분수 사이에 숨어 있기 때문에 무한히 많이 존재하고, 수직선 위에 유리수와 무리수를 모두 그려 넣으면 비로소 완전한 선이 될 수 있답니다.

*사진 제목 및 출처
1. 피타고라스/위키피디아
2. 피타고라스의 정리
3. 피타고라스의 정리
4. 히파수스/위키피디아
5. 파이의 원리