《구장산술》을 백과사전에서 검색해보면 중국의 고대 수학서 중 하나라는 것을 알 수 있어요. 저자와 저작연대는 확실하지 않지만 한나라 시대 어느 부인의 무덤에서 죽간에 쓰인 구장산술의 내용이 나온 것으로 보아 엄청난 역사를 가진 책이라고 추측할 수 있어요. 후대 동양 산학서적의 모델이 된 이 책은 다음과 같이 아홉 개의 장으로 나누어져 있어요.
1) 방전(方田) : 여러 형태의 토지의 넓이를 구하는 법(38문제)
2) 속미(粟米) : 속미(조)를 기준으로 곡물과 그에 관계된 것들의 교환에 관한 문제(46문제)
3) 쇠분(衰分) : 비례배분의 문제(20문제)
4) 소광(小廣) : 여러 형태의 토지의 넓이로부터 변이나 지름의 길이를 구하는 방법(24문제)
5) 상공(商工) : 토목공사에 관계된 입체의 부피를 구하는 법이나 인부의 수를 계산하는 방법(28문제)
6) 균수(均輸) : 조세를 거두는 과정에서 발생하는 여러 문제를 해결하는 방법(28문제)
7) 영부족(盈不足) : 과부족에 관한 문제(20문제)
8) 방정(方程) : 일차 연립 방정식을 푸는 문제(18문제)
9) 구고(句股) : 직각삼각형에 관한 문제(24문제)
총 246문제에 달하는 실용문제는 고대 사회 경제사의 사료로서도 그 가치가 높다고 할 수 있답니다.
구장산술의 ‘방정’에서는, 요즘의 표현을 빌려 말하자면 ‘연립 일차 방정식’으로 해결하는 문제를 다루고 있어요. 이런 문제의 해법인 ‘방정술’에서는 사진 3번과 같이 산대를 이용해서 각 방정식의 계수와 상수항을 한 열(산학에서는 이를 행이라 불러요)에 나타내지요. 산대가 나타내는 수를 인도？아라비아 숫자로 나타내 보면, 4x+5y+6z=1219, 5x+6y+4z=1268, 6x+4y+5z=1263이 됩니다(한문은 위에서 아래로, 오른쪽부터 왼쪽으로 작성됨).
실제로, ‘방정’은 ‘수들을 네모 모양으로 늘어놓고 계산하는 것’이란 뜻이에요. 이렇게 수들을 배열한 다음에 한 열에 있는 모든 수에 같은 수를 곱하거나, 한 열에서 다른 열을 대응하는 수끼리 빼는 과정을 반복해서 답을 얻지요. 물론, 이 경우에 답은 x=98, y=85, z=67이랍니다. 현대 수학의 용어를 사용하면, 이는 연립 일차 방정식에 대응하는 ‘확대 계수 행렬’을 만든 다음에 ‘기본 열 연산’을 통해 답을 구하는 과정과 같아요. 이런 계산 과정에서 음수의 출현은 피하기 어렵지요. 구장산술에서 양수와 음수의 덧셈과 뺄셈 법칙인 ‘정부술’이 등장하는 것 역시 제8권 방정이랍니다. 실제로 구장산술에서는 방정을, “이것으로 양수와 음수가 뒤섞인 것을 다룬다(以御錯？正負).”라고 말하고 있어요.
입체 도형의 부피를 다루는 것은 제5권 상공이에요. 이곳에서는 단면이 사다리꼴인 사각기둥 모양의 성, 담, 제방, 도랑, 해자, 개천 등의 부피 및 정사각기둥, 원기둥, 정사각뿔대, 원뿔대, 정사각뿔, 원뿔 모양의 돈대 또는 정자의 부피를 구해요. 이런 입체 도형의 일부를 잘라낸 도형과 이런 입체 도형들로 분해할 수 있는 좀 더 복잡한 도형도 다루지요. 이런 입체 도형의 부피는 현재와 같은 공식을 이용해서 정확한 값을 구하고 있어요. 물론, 원기둥과 원뿔의 경우에는 고법, 즉 π=3인 원주율을 이용하고 있답니다.
구장산술 제9권 구고의 20번에 해당하는 문제는 이차 방정식으로 다음과 같아요.
“정사각형의 [성벽으로 둘러싸인]마을이 있는데, 그 크기는 알지 못한다. 각 변의 가운데에 문이 나 있고, 북문을 나와서 20보 되는 곳에 나무가 있다. 남문에서 14보 나와서 방향을 바꿔 서쪽으로 1775걸음 걸어가면 나무가 보인다. 마을의 한 변은 얼마인가?”
해법은 다음과 같아요.
“북문에서 나온 보수에 서쪽으로 걸은 보수를 곱하고, 이를 2배로 하여 실이라 하자. [북문에서 나온 보수에] 남문에서 나온 보수를 더하여 종법이라 하여 평방을 풀면 곧 마을의 한 변을 얻는다.”
여기서 ‘실’은 상수항, ‘종법’은 일차항, ‘평방’은 이차 방정식을 뜻해요. 그래서 이 해법은 다음의 이차 방정식의 근이 마을 한 변의 길이라는 말이지요.
, 즉 
마을 한 변의 길이를 x로 놓고, 두 닮은 삼각형의 변의 길이 사이의 비례 관계를 이용하면 이 이차 방정식을 유도할 수 있답니다. 정말로 그런지 한번 확인해 보세요.
*사진 제목 및 출처
1. 구장산술/위키피디아
2. 구장산술/위키피디아
3. 구장산술의 ‘방정’/네이버캐스트
4. 구장산술의 ‘상공’/네이버캐스트
5. 구장산술의 ‘구고’/네이버캐스트
