제곱하면 -1이 되는 수는 어떤 종류의 수일까요? 어떤 양수도 이런 성질을 갖지 않으며, 음수의 경우도 마찬가지라고 할 수 있어요. 즉, 모든 실수를 제곱하면 양수가 되지요. 바로 이와 같은 이유에서 를 ‘허수’라고 불러요.
  사실, 허수가 수학에서 처음 모습을 드러낸 것은 과 같은 이차방정식을 통해서였을 것으로 추측하고 있어요. 그런데 수학자들이 이 이차방정식의 해가 또는 라고 말했을 것이라고 생각하겠지만, 사실은 대체로 그러지 못했어요. 그냥 이 방정식의 해가 존재하지 않는다고 말하는 것이 더 현명하고 솔직한 것처럼 여겨지곤 했거든요.
  그렇다면 도대체 왜? 와 같이 이상한 존재가 많은 관심을 끌게 되었을까요? 흥미롭게도, 허수가 주목을 받도록 만들어준 것은 이차방정식이 아니라 와 같은 삼차방정식이었어요.
  12세기 인도의 수학자인 바스카라는 “양수의 제곱근은 물론이고, 음수의 제곱도 양수이다. 그리고 양수의 제곱근은 양수와 음수 두 개이다. 음수는 제곱수가 아니므로 음수의 제곱근은 없다.” 라고 말했어요.
  16세기 이탈리아의 수학자 카르다노는 그의 논문 〈위대한 술법〉에서 음수의 제곱근을 ‘가공의 양(+)’이라고 언급해 놓았어요. 과 을 풀어서 두 개의 이상한 해인 와 를 구해 내고서는 “이것이 전혀 쓸모가 없다.”고 결론을 내린 것이죠. 전혀 쓸모가 없으면 기록이나 해 두지 말 것이지….
  어쨌거나 카르다노는 음수의 제곱근을 기록함으로써 결국 그 존재를 입증한 셈이 되었다고 할 수 있어요.
  17세기의 수학자들은 과 같은 표현에 ‘허수’라는 이름을 붙였어요. 허수라는 이름은 적절한 표현은 아니지만 데카르트가 이렇게 부른 뒤로 굳어져 버렸답니다.
  실수와 허수를 합친 복소수는 매우 추상화되고 논리적인 절차에 따라 이론적으로 도출된 수라서 납득하기가 어려웠어요. 사람들이 이것을 인정하기까지는 약 600년이라는 많은 시간이 걸렸답니다. 그러나 상상의 수라는 별명처럼 상상 속에만 존재하거나 쓸모없는 수는 아니랍니다.
  수학자들은 복소수의 성질을 다양하게 응용했는데, 가령 원자 물리학에서 원자 입자의 상태를 나타내는 방정식의 해는 복소수로 표현되지요. 또한 복소수는 과학이나 공학적 현상에서 힘의 작용을 나타내는 벡터의 모델로 사용되기도 합니다. 게다가 복소수를 좌표로 다루는 기하학인 복소 기하학은 우주의 차원을 규명하는 데 빼놓을 수 없는 학문으로 꼽히고 있어요.
  1748년에 오일러는 라는 공식을 발견했어요. 이것은 미적분학, 무한급수, 허수 등과 같이 상당히 깊이 있는 수학적 개념을 함께 엮어서 얻어낸 결과로 실용적인 가치가 크다 할 수 있는데, 특히 를 대입시키면 과 같은 식을 얻게 되지요. 아주 어려운 공식처럼 생겼지만 모양만 보아도 아름답지 않나요?
  영화 〈박사가 사랑한 수식〉에 이 공식이 나오는데, 영화에서는 ‘전혀 관계없어 보이던 숫자 사이의 연결 고리를 만듦으로써 가장 아름다운 수식’으로 이 공식이 소개되고 있답니다. 수학자들은  사이를 절묘하게 연결시키는 이 공식이야말로 수학의 모든 분야에서의 가장 놀라운 결과라고 인정하고 있지요. 적어도 지금까지는 말이죠. 앞으로 여러분들이 더 아름다운 공식을 만들어 보는 건 어떨까요?

*사진 제목 및 출처
1. 허수
2. 바스카라/위키피디아
3. 카르다노/위키피디아
4. 복소수
5. 영화 〈박사가 사랑한 수식〉 포스터