여러분은 ‘오일러의 공식’이란 것을 알고 있나요?
  이것을 만든 사람은 수학자 오일러랍니다. 자신의 이름을 공식이름에 사용한 것이지요. 오일러 공식에 대해서 살펴보기 전에 먼저 수학자 오일러에 대해 알아보기로 해요.
  인생의 많은 시간을 시각 장애인으로 살았던 오일러는 18세기에 가장 영향력 있는 수학자였답니다. 그는 이론 수학자로서 대수학, 기하학, 미적분학, 정수론 분야에 상당히 의미 있는 많은 업적을 남겼으며, 또한 응용수학자와 과학자로서 역학, 천문학, 광학, 조선학 분야에서 중요한 발견을 이루어냈어요.
  1738년 31세의 나이였던 오일러는 병균에 의한 눈 질환을 앓게 되었고, 2년 후에는 오른쪽 눈의 시력을 완전히 잃었다고 알려져 있어요. 그럼에도 불구하고 계속해서 집필 작업에 몰두한 그는, 1752년에 다면체라고 부르는 구조에 대한 ‘모서리+2’ 공식을 발견했답니다. 정말 대단하지요?
다면체는 삼각형, 사각형, 육각형과 같은 다각형의 면을 갖는 상자, 피라미드, 혹은 축구공 같은 물체를 말하지요. 그는 이와 같은 다면체들에 대해 면의 수와 꼭짓점의 수를 더한 값은 모서리의 수에 2를 더한 것과 같다는 사실을 발견했어요. 이를 수학적으로 나타낸 것이 ‘F+V=E+2'이에요. 이때, F는 면의 개수, V는 꼭짓점의 개수, E는 모서리의 개수를 의미해요. 사실, 'F+V=E+2'를 최초로 발견한 것은 1639년 데카르트에 의해서였다고 해요. 그렇지만 데카르트는 발견된 사실을 증명할 수는 없었어요. 이것을 100여 년이 흐른 뒤에 오일러가 증명해 낸 것이지요.
  오일러 공식을 육면체 상자에 적용해 볼까요? 왼쪽 그림과 같은 육면체는 6개의 면, 8개의 꼭짓점, 12개의 모서리로 이루어져 있으므로 이것은 6+8=12+2로 공식을 만족하게 되지요. 밑면이 정사각형인 피라미드는 5개의 면, 5개의 꼭짓점, 8개의 모서리를 가지므로, 이것 또한 5+5=8+2로 공식을 만족하게 된다는 것을 알 수 있어요.
  자, 마음 내키는 대로 점들을 찍어보세요. 다 찍었나요? 그럼, 이제 그 점들을 적당히 선으로 연결해 보세요. 모서리의 모양은 중요하지 않지만, 모서리들이 서로 교차하지는 않아야 해요. 단, 모서리들의 끝에서는 서로 교차할 수 있어요. 그리고 어떤 모서리도 자기 자신과 만나지 않아야 해요. 이와 같은 연결 상태를 ‘2차원 연결망’이라고 하지요.
  평면 위의 연결망을 살펴보면 몇 가지 놀라운 결론을 얻을 수 있어요. 그중 하나가 1751년 오일러가 발견한 오일러 공식이에요. 이것은 평면에 그려진 임의의 연결망에서 계산값 V-E+F가 항상 1이라는 것이에요. 이때 V는 꼭짓점의 수, E는 모서리의 수, F는 연결망의 모서리로 둘러싸인 면의 수를 뜻해요.
  입체도형에서는 V-E+F=2, 평면도형에서는 V-E+F=1을 만족한다는 것을 알 수 있지요. 이처럼 규칙을 완벽하게 만족하는 수학의 아름다움을 여러분도 느낄 수 있나요?

*사진 제목 및 출처
1. 오일러/위키피디아
2. 오일러 우표(독일)/위키피디아
3. 육면체
4. 피라미드/위키피디아
5. 2차원 연결망