여러분에게 가장 친숙한 도형은 무엇인가요?
  아마 직선과 원이 가장 친숙한 도형일 거예요. 여러분은 직선을 그리는 자와 원을 그리는 컴퍼스를 가지고 있지요? 반듯한 물건만 있으면 눈금은 없을지라도 자 대신 쓸 수 있고, 팽팽한 실에 연필을 매달면 컴퍼스처럼 사용할 수 있어요. 이처럼 자와 컴퍼스는 단순한 도구라서 고대 사람들도 사용했답니다. 단순한 도구인 자와 컴퍼스만을 사용해서 상당히 많은 선이나 도형을 그릴 수 있어요.
  예를 들어 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형과 같은 정다각형을 자와 컴퍼스만으로 그릴 수 있답니다.
  수학에서는 자와 컴퍼스만으로 선이나 도형을 그리는 것을 ‘작도’라고 해요. 눈금이 없는 자와 컴퍼스 두 개만으로 작도하는 것을 ‘기하학적 작도’나 ‘유클리드 작도’ 혹은 ‘플라톤 작도’라고 하지요.
  정다각형 중 변의 개수가 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, … 인 것은 자와 컴퍼스로 작도할 수 있었어요. 그런데 오랫동안 정7각형, 정9각형, 정11각형, 정13각형, 정17각형… 등을 작도할 수 있는가 하는 문제는 해결되지 않고 있었어요. 그러다가 1796년에 19세의 청년 가우스가 정17각형의 작도가 가능하다는 것을 증명해 보이면서부터 이 문제에 대한 해결의 실마리가 보이기 시작했어요.
  가우스는 정17각형이 작도 가능한 것은 cos(360°/17)를 작도할 수 있다는 것을 보이는 것과 같다고 생각했어요. 가우스가 설명한 보인 것을 표현하면 사진 5번과 같아요.
  엄청 복잡해 보이지요? 이 값이 사칙연산과 제곱근만으로 이루어져 있기 때문에 작도할 수 있다는 것이 가우스의 결론이었어요.
  그런데 재미있는 것은 가우스는 직접 정17각형을 작도한 적이 없다는 것이에요. 가우스는 정17각형을 작도할 수 있다는 것만 증명해 보였거든요. 그런데 몇 년 뒤 정17각형을 작도하는 방법(사진 6)이 나왔고 그 후에는 개선된 다른 방법들도 나왔어요. 하지만 여전히 정17각형을 작도하는 것은 꽤 복잡하고 어려운 일이랍니다.

*사진 제목 및 출처
1. 컴퍼스와 자
2. 컴퍼스와 자로 그린 삼각형
3. 컴퍼스와 자로 그린 사각형
4. 가우스/위키피디아
5. 가우스의 ‘정17각형’ 작도
6. 가우스의 ‘정17각형’ 작도