이차방정식 과 같이 x의 거듭제곱 형태로 주어진 방정식의 해를 ‘대수적 수’라고 해요. 일반적으로는 유리수를 계수로 갖는 n차 방정식의 해를 대수적 수라고 하지요.

  ,…과 같은 무리수들은 대수적 수예요.
  왜일까요?

  는 의 해이고, 은 의 해이기 때문이에요. 모든 유리수는 대수적 수이고, 무리수 중 일부도 대수적 수에 포함된답니다.
  그러면 모든 수는 대수적 수일까요? 놀랍게도, 대수적 수의 영역 너머에는 ‘좀 더 다루기 어려운 무리수’가 존재해요. 이런 수들은 어떤 대수 방정식의 해도 되지 않는데, 18세기 스위스의 천재 수학자 오일러는 이것을 ‘초월수’라고 불렀어요. 초월수는 ‘대수학을 초월하여 존재하는 수’를 의미해요. 그런데 주어진 수가 초월수임을 증명하기란(즉, 주어진 수를 만족하는 대수 방정식이 존재하지 않는다는 것을 증명하기란) 결코 쉬운 일이 아니고, 그 반대로 초월수가 아님을 증명하는 것도 정말로 어려운 일이라고 해요.
  초월수 중에서 가장 널리 알려진 수는 바로 원주율 파이(π)예요. 이 수는 원의 둘레를 지름으로 나눈 값이고 약 3.141592정도 되는 수인데 정확한 값을 표현할 수는 없어요.
  파이 다음으로 유명한 초월수는 예요. 약 2.718281정도 되는 수이고 역시 정확한 값을 표현할 수는 없어요. 이 수는 오일러가 발견했다고 해서 ‘오일러 수’라고도 알려져 있어요. 는 인구 증가, 재무 수학, 물리학 그리고 확률과 통계 등 다방면에서 매우 중요하게 취급되는 수랍니다.
  가 초월수임을 증명한 사람은 19세기 프랑스 수학자 샤를 에르미트였어요. 그 후 독일의 수학자 페르디난트 폰 린데만은 에르미트의 논리를 조금 수정하여 ‘원주율 π는 초월수인가?’라는 오래된 의문을 해결했어요. 그리고 이와 함께 ‘주어진 원과 면적이 같은 정사각형을 자와 컴퍼스만으로 작도할 수 있는가?’라는 또 하나의 오래된 질문에도 ‘작도할 수 없다.’라는 답을 얻게 되었어요.
  린데만이 π와 한창 씨름을 벌이던 무렵에 칸토어는 또 하나의 중요한 사실을 발견하여 전 세계 수학자들을 놀라게 했어요. 당시 수학자들은 분수와 무리수에 대해 많은 사실을 알고 있었고, π나 와 같은 초월수에도 익숙한 상태였어요. 그런데 칸토어가 ‘실수의 대부분’이 초월수임을 증명해냈답니다.
  그 후로 수학자들은 전통적인 수직선을 새로운 관점에서 바라보게 되었어요. 수직선이 정수와 분수 그리고 ,…등 정수의 제곱근으로 이루어져 있다는 생각은 완전히 오해였어요. 초월수에 비하면 이들은 수직선에서 극히 드물게 나타나는 것이었지요. 결국 실수의 대부분은 초월수랍니다.
  초월수가 대수적 수보다 훨씬 많은데, 수학자들은 왜 그 존재를 몰랐던 것일까요? 사실 초월수 중에는 π나  외에 금방 떠오르는 수가 없어요.  등 여러 가지 변형을 떠올릴 수도 있지만, 이런 것은 빙산의 일각에 불과해요. 초월수를 찾을 때에는 각별한 주의를 기울여야 해요. 두 개 이상의 초월수를 임의로 섞는다고 해서 반드시 초월수가 된다는 보장이 없기 때문이에요. 예를 들어 +π가 초월수인지는 아직 아무도 몰라요. 그리고 은 초월수임이 증명되었지만 가 초월수인지는 아직 분명치 않다고 해요.

*사진 제목 및 출처
1. 오일러/위키피디아
2. 오일러의 수
3. 샤를 에르미트/위키피디아
4. 페르디난트 폰 린데만/위키피디아
5. 칸토어/위키피디아